Рассмотренные выше примеры являются частными случаями общих теорем [18] для игр с прямоугольными матрицами (прямоугольными играми); из них, в частности, вытекает:
1. Величины существуют и равны между собой; при этом величина


(11.24)
является ценой игры.
2. Всякая прямоугольная игра имеет цену; каждый игрок в прямоугольной игре всегда имеет оптимальную стратегию.
3. Пусть Е – математическое ожидание выигрыша в прямоугольной игре с матрицей С, имеющей цену v. Тогда для того, чтобы элемент х* =(х1*,...,х*m) Х был оптимальной стратегией для игрока А, необходимо и достаточно, чтобы для всякого j =1, 2,...,n базисного вектора y(j) = имело место неравенство
v ≤ E (x*, y(j)).

(11.25),
Аналогично для того чтобы элемент у* =(y*1,...,y*n)Y был оптимальной стратегией для игрока В, необходимо и достаточно, чтобы для всякого элемента базисного вектора x(i) = имело место неравенство
E (x(i), y*) ≤ v.

(11.26)
Покажем теперь на двух примерах, как можно применить эти утверждения для вычисления цен и определения оптимальных стратегий для прямоугольных игр. В качестве таких примеров рассмотрим стратегии ловли на удочку и питания рыбы1.
1 Идея примера взята из книги Вильямса [8], которая также может служить хорошим введением в теорию игр.

Представим себе, что существование такого вида рыб, питающихся у поверхности воды, зависит от наличия трех видов летающих насекомых, которые обозначим через т1,т2 и m3 соответственно; насекомые появляются в зоне захвата с частотами 15п, 5п и п (т. е. насекомых т2 в 5 раз больше чем m3, а насекомых т1 в 3 раза больше чем т2).
Допустим, что рыбак В ловит рыбу А на насекомых одного из этих видов, насаживая их на крючок. Тогда матрица стратегий С ловли на удочку и питания рыб имеет следующий вид (табл. 11.1):


На основании изложенных утверждений достаточно найти неотрицательные числа х1,х2,х3, y1,y2,y3 и число, удовлетворяющее следующим условиям:
x1+x2+x3=l,y1+y2+y3=1,

(11.27)
v ≤ -2x1,

-2y1 ≤ v,
v ≤ -6x2,

-6у2 ≤ v,
v ≤ -30x3,

-30у3 ≤ v.
Заменим последние шесть неравенств на равенства. Тогда имеем
х1=у1= ,x2=y2= , x3=у3= .

(11.28)
Подставляя эти значения в равенства (11.27), получим
v = .

(11.29)
.

(11.30)


(11.31)
Таким образом, цена игры для рыбы будет отрицательной и равной . Она показывает, что в конце концов рыба будет поймана. При этом оптимальная стратегия рыбака совпадает со стратегией питания (также оптимальной) рыбы и оптимальная стратегия уменьшает вероятность поимки рыбы в каждом конкретном случае.
Несколько усложним задачу. Предположим, что рыболов иногда использует приманку т4, которая может быть принята по ошибке за одно из трех насекомых, но которая вдвое чаще вызывает подозрение у рыб. Тогда матрица С стратегий ловли на удочку и питания рыб примет вид табл. 11.2:


Теперь достаточно найти неотрицательные числа х1,х2,х3, y1,y2,y3,y4 и число v, удовлетворяющие следующим условиям:
x1+x2+x3=l,

y1+y2+y3+y4=1,

(11.27)
v ≤ -2x1,

-y4 –2y1 ≤ v,
v ≤ -6x2,

-3y4 – 6у2 ≤ v,
v ≤ -30x3,

-15y4 – 30у3 ≤ v.
v ≤ -x1 –3x2 –15 x3
Левая система неравенства переопределена, а правая недоопределена (в левой неизвестных больше, чем неравенств, а в правой меньше). Заметим, что если последнее неравенство в правой колонке
-15y4 –30у3 ≤ v. будет выполнено при у3=0, то оно будет выполнено и при всех у3>0. Следовательно, полагая у3 = 0, правую систему неравенств можно заменить системой трех линейных уравнений
-y4 –2y1 = v,

-3y4 – 6у2 = v,

-15y4 – 30у3 = v
с тремя неизвестными y1, у2, у4. Ее решение, очевидно, имеет вид

Подставляя полученные выражения в равенство (11.32), где у3 =0, получим , т. е. цена игры для рыбы отрицательна и равна
,

(11.33)
что несколько меньше, чем в предыдущем случае. Оптимальная стратегия рыбалки имеет вид


(11.34)
Изучим теперь оптимальную стратегию для рыбы, так как у3, = 0, то и x3 = 0, т. е. насекомые m3 слишком опасны для жизни. Тогда из системы четырех неравенств выпадают третье и четвертое, которое при x3 = 0 является следствием двух первых (их полусуммой). Таким образом, для определения x1, х2 и v имеем систему трех уравнений с тремя неизвестными
x1 + x2 + x3 = 1, v = -2x1, v = -6x2,
откуда

и, с учетом x3 = 0,



(11.35)
Значит, оптимальная стратегия для рыбы равна


(11.36)
цена же ее в силу (11.35) равна , т. е. совпадает с (11.34), что, вообще говоря, вытекает из общей теории.
Модели, основанные на теории игр, представляют собой интересный, но пока еще недостаточно изученный подход к решению стратегических экологических задач. Разработка теории для более сложных игр с ненулевой суммой и игр многих лиц, где между игроками могут создаваться коалиции, должна найти эффективное применение в экологических проектах, связанных с планированием и оценкой различных воздействий на окружающую среду.

Контрольные задания

1. Рассмотрим задачу об «оптимальном рационе» в случае трех продуктов питания (например, хлебные, молочные и мясные продукты) и трех полезных веществ (углеводы, белки, жиры). Ценовой вектор с = (с1, с2, c3) (руб.) примерно равен (10; 20; 50), а вектор b = (b1, b2, b3) минимально необходимого месячного потребления полезных веществ (кг) равен (1,2; 4; 1,5). Будем предполагать также, что матрица имеет вид .
Решить задачу f1(x)= → min при ограничениях Ах ≤ b, х ≥ 0.
2. При тех же ограничениях решить задачу f2(x) = х2 → max .
3. Решить двухкритериальную задачу f1(x)→min, f2(x)→max, заменяя ее минимизацией суперкритерия f(x)=Θf1(x)-(1-Θ)f2(x). Рассмотреть случаи .
4. Привести геометрическую интерпретацию задач 1–3.
5. Рассмотреть задачу поиска в случае трех районов и соотношения = 1 : 2 : 3. Найти условия на параметры p1, р2, p3, при которых задача имеет решение в каждом из районов, т.е. t1 = Т, t2=Т, t3 = Т , и в случае, когда время поиска в каждом из районов одно и то же (t1 = t2 = t3 = T/3).
6. Найти оптимальную стратегию рыбака, использующего в качестве наживки мух и живца, если матрица стратегий имеет вид:

7. Найти оптимальную стратегию рыбака, если он дополнительно использует искусственных мух и блесну, а матрица стратегий в этом случае имеет вид:


Глава 12. Системный анализ и управление в экологии

12.1. Общее представление о системном анализе

Вопреки представлениям многих экологов, системный анализ не есть какой-то математический метод и даже не группа математических методов. Это стратегия научного поиска, использующая математические методы и модели, но в рамках систематизированного научного подхода к решению сложных проблем. По существу системный анализ таким образом организует наши знания об объекте, что облегчается выбор нужной стратегии или предсказания результатов той или иной стратегии для принятия определенного решения. При использовании системного анализа в решении практических задач можно, следуя Дж. Джефферсу [12], выделить семь этапов (рис. 12.1).

12.2. Основные этапы системного анализа

Обсудим кратко каждый из этих этапов.
1. Выбор проблемы
Данный этап предусматривает выбор правильного метода исследования для решения актуальной экологической проблемы. Как показывает опыт, на практике часто не учитываются существенные практические аспекты экологии, с одной стороны; а с другой – ряд представлений об экологических процессах настолько широко распространен, что их можно использовать без дополнительных обоснований. Поэтому, с одной стороны, можно взяться за решение проблемы, не поддающейся системному анализу, а с другой – выбрать проблему, которую можно более экономно решить, не используя всю мощь методов системного анализа. Такая двойственность первого этапа делает его критическим для успеха (или неудачи) всего исследования.


2. Постановка задачи и ограничение степени ее сложности
Как только существование проблемы осознано, требуется упростить задачу настолько, чтобы она имела по возможности аналитическое решение, сохраняя в то же время все те элементы, которые допускают содержательную практическую интерпретацию.